Перевод градусов в радианы: формула

Углы в математике могут задаваться в градусах и в радианах. Чтобы перевести градусы в радианы, используйте связь полного оборота: один круг равен 360° и 2π рад.

Формула перевода градусов в радианы

Если угол задан как α°, то в радианах он равен:

α (рад) = α (град) · π / 180

Эквивалентно этому:

• π рад = 180°
• 1° = π/180 рад

Пошаговый алгоритм: как перевести быстро

1. Запишите угол в градусах без символа ° (или просто “считайте”, что это число в градусной мере).
2. Умножьте на π.
3. Разделите результат на 180.
4. Если возможно, сократите дробь в коэффициенте перед π.

В итоге вы получите выражение вида (число) · π или kπ/m.

Примеры с переводом и сокращением

Пример 1: 120°

120·π/180 = 120π/180.
Сокращаем 120/180 на 60: 120/180 = 2/3.
Ответ: 120° = 2π/3 рад.

Пример 2: 45°

45·π/180 = 45π/180.
Сокращаем 45/180 на 45: 45/180 = 1/4.
Ответ: 45° = π/4 рад.

Пример 3: 150°

150·π/180 = 150π/180.
Сокращаем 150/180 на 30: 150/180 = 5/6.
Ответ: 150° = 5π/6 рад.

Пример 4: отрицательный угол −60°

−60·π/180 = −60π/180 = −π/3.
Ответ: −60° = −π/3 рад.

Таблица самых частых углов

• 0° = 0
• 30° = π/6
• 45° = π/4
• 60° = π/3
• 90° = π/2
• 120° = 2π/3
• 135° = 3π/4
• 150° = 5π/6
• 180° = π
• 270° = 3π/2
• 360° = 2π

Что чаще всего путают

• Забывают делить на 180: получается просто “угол·π”, что неверно.
• Путают 180° и 2π рад: верное равенство — 180° = π рад.
• Не учитывают знак: для отрицательных градусов знак “минус” сохраняется в радианах.
• Оставляют градусный символ в конце ответа: радианы обозначают как рад (или просто записывают коэффициент при π), а “°” не пишут.

Быстрая проверка результата (на глаз)

• Если угол равен 180°, ответ должен быть π.
• Если угол в диапазоне 0…180°, радианы будут в 0…π.
• Если угол 90°, радианы должны быть π/2.

Если хотите, можете подставить ваш угол в формулу α·π/180 — я помогу проверить сокращение и финальный вид выражения.

Часто задаваемые вопросы

Сколько радиан в 1 градусе?

Так как 180° = π рад, то 1° = π/180 рад. Это базовый коэффициент, который используют во всех переводах: умножаете градусы на π/180.

Как перевести отрицательные градусы в радианы?

Нужно сохранить знак: (−α)° = −(α·π/180) рад. Например, −120° = −120·π/180 = −2π/3.

Нужно ли переводить градусы, минуты и секунды?

Если угол задан в градусах-минутах-секундах (° ′ ″), сначала приводят к десятичным градусам, а затем применяют формулу α_rad = α_deg·π/180. Сам перевод на радианы делается только после получения градусной меры.

Как перевести радианы обратно в градусы?

Обратная формула: α_deg = α_rad·180/π. Например, если дано 5π/6 рад, умножаете на 180 и делите на π: получаете 150°.

Почему иногда в задачах про тригонометрию просят радианы?

Потому что многие вычислители (программы, калькуляторы) по умолчанию работают с радианами. В школьных задачах часто встречаются и градусы, но при вычислениях “как у калькулятора” важно перевести угол в радианы.

Можно ли сокращать выражение после перевода?

Да, это даже полезно: после умножения на π и деления на 180 обычно получается дробь вида kπ/180. Сократите k/180 на НОД — так вы получите компактный ответ, например 120° = 2π/3.