В геометрии под треугольником ABC понимают фигуру, образованную тремя точками A, B и C, не лежащими на одной прямой, и отрезками AB, BC, AC. Площадь этой фигуры — численная мера занимаемой ею части плоскости. В зависимости от того, какие элементы треугольника известны, применяют разные формулы. Ниже собраны все основные способы вычисления площади треугольника ABC с пояснениями и примерами.
Стандартные обозначения
Для треугольника ABC приняты следующие обозначения:
- Стороны: a = BC, b = AC, c = AB.
- Углы: ∠A — при вершине A, ∠B — при вершине B, ∠C — при вершине C.
- Высоты: hₐ — к стороне a, h_b — к стороне b, h_c — к стороне c.
- Площадь: S.
Сумма углов любого треугольника равна 180°: ∠A + ∠B + ∠C = 180°.
Основные формулы площади
1. Через основание и высоту
Если известна сторона (основание) и проведённая к ней высота, площадь вычисляется как половина их произведения:
S = ½ · a · hₐ = ½ · b · h_b = ½ · c · h_cПример. В треугольнике ABC сторона a = BC = 10 см, высота hₐ = 6 см. Тогда S = ½ · 10 · 6 = 30 см².
2. Через две стороны и угол между ними
Одна из самых универсальных формул. Площадь равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними:
S = ½ · b · c · sin A = ½ · a · c · sin B = ½ · a · b · sin CПример. Пусть b = AC = 8 см, c = AB = 11 см, ∠A = 60°. Тогда sin 60° ≈ 0,8660. S = ½ · 8 · 11 · 0,8660 ≈ 38,1 см².
3. Формула Герона (по трём сторонам)
Когда известны все три стороны, площадь находят через полупериметр p = (a + b + c)/2:
S = √(p · (p - a) · (p - b) · (p - c))Пример. a = 5 см, b = 6 см, c = 7 см. Полупериметр p = (5+6+7)/2 = 9 см. S = √(9·4·3·2) = √(216) ≈ 14,7 см².
4. Через радиус вписанной окружности
Если в треугольник вписана окружность радиуса r, площадь равна произведению полупериметра на этот радиус:
S = p · r, где p = (a + b + c)/2Пример. Для треугольника со сторонами 13, 14, 15 см полупериметр p = 21 см. Если r = 4 см, то S = 21 · 4 = 84 см².
5. Через радиус описанной окружности
Если вокруг треугольника описана окружность радиуса R, площадь выражается через стороны и этот радиус:
S = (a · b · c) / (4R)Пример. a = 6 см, b = 8 см, c = 10 см, R = 5 см. S = (6·8·10) / (4·5) = 480 / 20 = 24 см².
6. По стороне и двум прилежащим углам
Если известна одна сторона и два прилежащих к ней угла, площадь вычисляется по формуле:
S = ½ · a² · (sin B · sin C) / sin A(аналогично — через любую другую сторону и её углы). Угол A = 180° – B – C.
Пример. Сторона a = 10 см, ∠B = 45°, ∠C = 60°. Тогда ∠A = 75°. sin 75° ≈ 0,9659, sin 45° ≈ 0,7071, sin 60° ≈ 0,8660. S = ½ · 100 · (0,7071·0,8660) / 0,9659 ≈ 50 · 0,6124 / 0,9659 ≈ 31,7 см².
Частные случаи
Прямоугольный треугольник (∠C = 90°)
Тогда стороны a (BC) и b (AC) — катеты, c (AB) — гипотенуза. Площадь считается как половина произведения катетов:
S = ½ · a · bВсе остальные формулы также работают. Например, через гипотенузу и острый угол: S = ½ · c² · sin A · sin B.
Равнобедренный треугольник (a = b или a = c и т.д.)
Формулы остаются теми же, но упрощаются. Если, например, a = b (боковые стороны равны), то высота, проведённая к основанию c, является и медианой, и биссектрисой. Удобно использовать S = ½ · c · h_c, где h_c = √(a² - (c/2)²).
Равносторонний треугольник (a = b = c)
Все углы по 60°. Площадь выражается только через сторону:
S = (√3 / 4) · a²Как выбрать подходящую формулу
Ориентируйтесь на известные данные:
- Есть сторона и высота к ней → формула 1.
- Известны две стороны и угол между ними → формула 2.
- Даны три стороны → формула Герона (3).
- Дан радиус вписанной/описанной окружности и стороны → формулы 4 или 5.
- Известна сторона и два прилежащих угла → формула 6.
Если задача задана координатами вершин A(x₁,y₁), B(x₂,y₂), C(x₃,y₃), площадь проще всего найти через определитель:
S = ½ |x₁(y₂ - y₃) + x₂(y₃ - y₁) + x₃(y₁ - y₂)|Этот метод универсален и не требует вычисления сторон или углов.