Задание: перевести числа в двоичную систему
Как выполнить задание на перевод числа в двоичную систему счисления: деление на 2, метод степеней двойки, примеры с решениями и типичные ошибки.
Перевести число в двоичную систему — одно из самых частых заданий по информатике в школе, на ОГЭ, ЕГЭ и ВПР. Суть задачи: дано десятичное число, нужно получить его запись из нулей и единиц. Ниже разобраны оба надёжных способа решения, обратный перевод для самопроверки и типовые задания с ответами.
Способ 1. Последовательное деление на 2
Классический алгоритм:
- Разделите исходное число на 2 и запишите остаток (0 или 1).
- Полученное целое частное снова разделите на 2 и опять запишите остаток.
- Повторяйте, пока частное не станет равно 0.
- Выпишите остатки в обратном порядке — от последнего к первому. Это и есть двоичная запись.
Пример: перевести 156₁₀ в двоичную систему
| Действие | Частное | Остаток |
|---|---|---|
| 156 ÷ 2 | 78 | 0 |
| 78 ÷ 2 | 39 | 0 |
| 39 ÷ 2 | 19 | 1 |
| 19 ÷ 2 | 9 | 1 |
| 9 ÷ 2 | 4 | 1 |
| 4 ÷ 2 | 2 | 0 |
| 2 ÷ 2 | 1 | 0 |
| 1 ÷ 2 | 0 | 1 |
Читаем остатки снизу вверх: 156₁₀ = 10011100₂.
Способ 2. Разложение по степеням двойки
Быстрый метод, которым удобно пользоваться на экзамене. Он основан на том, что каждая позиция двоичного числа соответствует степени двойки:
2⁷ 2⁶ 2⁵ 2⁴ 2³ 2² 2¹ 2⁰
128 64 32 16 8 4 2 1Алгоритм:
- Найдите наибольшую степень двойки, не превышающую число.
- Вычтите её и повторите с остатком.
- Поставьте единицы в те разряды, которые «сработали», нули — в остальные.
Пример: перевести 45₁₀
45 = 32 + 8 + 4 + 1 = 2⁵ + 2³ + 2² + 2⁰.
Под единицами стоят разряды 5, 3, 2, 0 — получаем 101101₂.
Этот же метод идеален, когда спрашивают не саму запись, а её свойства. Например, в записи 578₁₀ достаточно заметить, что 578 = 512 + 64 + 2, — значит, единиц ровно три, полностью переводить число не нужно.
Обратный перевод: из двоичной в десятичную
Обратный перевод нужен и в отдельных заданиях, и для самопроверки. Каждую единицу замените соответствующей степенью двойки и сложите:
10011100₂ = 128 + 16 + 8 + 4 = 156₁₀ — совпало с примером выше.
Полезный контроль чётности: любое чётное число в двоичной системе заканчивается на 0, нечётное — на 1.
Быстрый перевод через восьмеричную и шестнадцатеричную системы
В некоторых заданиях числа даны в восьмеричной или шестнадцатеричной системе. Полный перевод через десятичную не обязателен — каждая цифра заменяется группой двоичных разрядов:
| Цифра 8-й системы | Триада | Цифра 16-й системы | Тетрада |
|---|---|---|---|
| 0 | 000 | 0 | 0000 |
| 1 | 001 | 1 | 0001 |
| 2 | 010 | 2 | 0010 |
| 3 | 011 | 3 | 0011 |
| 4 | 100 | 4 | 0100 |
| 5 | 101 | 5 | 0101 |
| 6 | 110 | 6 | 0110 |
| 7 | 111 | 7 | 0111 |
| — | — | 8 | 1000 |
| — | — | 9 | 1001 |
| — | — | A | 1010 |
| — | — | B | 1011 |
| — | — | C | 1100 |
| — | — | D | 1101 |
| — | — | E | 1110 |
| — | — | F | 1111 |
Пример с триадами: 101110111₂ → разбиваем справа на группы по 3: 101 | 110 | 111 → 567₈.
Пример с тетрадами: 11001100₂ → 1100 | 1100 → CC₁₆. Обратно: каждая шестнадцатеричная цифра заменяется четырьмя битами — это самый короткий путь, если в задании требуется перевести число из 16-й системы в двоичную.
Типовые задания с решениями
Задание 1. Переведите число 87 из десятичной системы в двоичную. Основание указывать не нужно.
Решение делением на 2: 87→43 (ост. 1), 43→21 (1), 21→10 (1), 10→5 (0), 5→2 (1), 2→1 (0), 1→0 (1).
Ответ: 1010111
Задание 2. Переведите число 204 из десятичной системы в двоичную.
204 = 128 + 64 + 8 + 4 = 2⁷ + 2⁶ + 2³ + 2².
Ответ: 11001100
Задание 3. Сколько единиц содержит двоичная запись числа 100₁₀?
100 = 64 + 32 + 4 → запись 1100100.
Ответ: 3 единицы.
Задание 4. Какому из чисел соответствует запись 100000₂?
Ведущая единица и пять нулей — это 2⁵ = 32.
Ответ: 32₁₀.
Задание 5 (сравнение). Дано a = 70₁₀ и b = 68₁₀. Какое из чисел 1000101₂ или 1000111₂ лежит между ними?
Переводим: 1000101₂ = 64 + 4 + 1 = 69; 1000111₂ = 64 + 4 + 2 + 1 = 71.
Ответ: 1000101₂ (равно 69 и удовлетворяет условию 68 < 69 < 70).
Типичные ошибки при выполнении задания
- Остатки записаны в прямом порядке. Самая частая ошибка: остатки выписывают сверху вниз, а не снизу вверх. Проверяйте хотя бы чётность последней цифры.
- Деление не доведено до конца. Делить нужно до нулевого частного включительно — последний шаг даёт старшую единицу записи.
- Путаница частного и остатка. В ответ идут остатки, а не результаты деления.
- Пропущен ведущий ноль или лишние нули. Запись не начинается с нуля (кроме случаев, когда разрядность задана условием, например «восьмибитное представление»).
- Неверно указано основание в ответе. Если в формулировке сказано «основание указывать не нужно», пишите только последовательность цифр.
Полезная привычка: закончив решение, выполните обратный перевод и сложите степени двойки — это занимает полминуты и гарантирует правильный ответ.
Частые вопросы
Как перевести дробное число в двоичную систему?
Целую часть переводят делением на 2, а дробную — последовательным умножением на 2: целая часть каждого произведения становится очередной цифрой после запятой. Учтите, что конечная десятичная дробь не всегда даёт конечную двоичную (например, 0,1 переводится бесконечно), поэтому дробную часть обычно округляют до заданного числа разрядов.
Нужно ли в ответе указывать основание системы счисления?
В заданиях ОГЭ и ЕГЭ обычно требуется записать только само двоичное число, без нижнего индекса 2. Если основание указать, ответ формально может не совпасть с эталоном. В контрольных и домашних работах лучше уточнить требование у учителя, а в черновике индекс всё же писать, чтобы не путаться.
Сколько разрядов будет в двоичной записи числа?
Число N занимает ⌊log₂N⌋ + 1 разрядов. Например, числа от 64 до 127 записываются семью разрядами, от 128 до 255 — восемью. Это удобно для быстрой проверки: если вы перевели 200 и получили пять цифр, в решении ошибка.
Как проверить правильность перевода?
Самый надёжный способ — обратный перевод: сложите степени двойки, которые соответствуют единицам двоичной записи, и сравните с исходным числом. Дополнительная проверка — последняя цифра двоичной записи чётного числа всегда 0, нечётного всегда 1.
Как перевести отрицательное число в двоичную систему?
В школьном курсе знак «минус» просто переносят: переводят модуль числа и приписывают минус, например −13₁₀ = −1101₂. В компьютерах отрицательные числа кодируются иначе — дополнительным кодом, но эта тема выходит за рамки типичных заданий ОГЭ и ЕГЭ.
Какой способ перевода быстрее — деление на 2 или степени двойки?
Деление на 2 — универсальный и безошибочный алгоритм, но занимает больше строк. Метод степеней двойки быстрее, если вы помните ряд 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024: вы просто раскладываете число на сумму степеней. Оптимально уметь пользоваться обоими способами.