Как найти градус угла в треугольнике по сторонам или известным углам. Формулы теоремы косинусов, сумма углов 180° и практические примеры расчётов.
По трём сторонам
Когда известны длины всех трёх сторон, угол находят через теорему косинусов. Формула для угла α напротив стороны a выглядит так:
cos α = (b² + c² − a²) / (2bc)
После вычисления косинуса угол получают как α = arccos(результат). Аналогичные формулы применяют для остальных углов, меняя местами стороны.
По двум известным углам
В любом треугольнике сумма внутренних углов равна 180°. Если известны два угла, третий вычисляют простым вычитанием: 180° − (угол A + угол B).
В прямоугольном треугольнике
Один угол равен 90°. Острые углы рассчитывают через тригонометрические соотношения:
- sin α = противолежащий катет / гипотенуза
- cos α = прилежащий катет / гипотенуза
- tan α = противолежащий катет / прилежащий катет
Примеры расчётов
Стороны 5, 12 и 13. Это прямоугольный треугольник. Угол напротив стороны 13 равен 90°. Для угла напротив стороны 5:
cos α = (12² + 13² − 5²) / (2 × 12 × 13) ≈ 0,923 → α ≈ 22,6°.
Второй острый угол равен 67,4°.
Другой пример: стороны 7, 8 и 9.
cos γ = (7² + 8² − 9²) / (2 × 7 × 8) ≈ 0,25 → γ ≈ 75,5°.
Остальные углы находят аналогично и проверяют сумму.
Полезные замечания
Перед расчётом убедитесь, что стороны удовлетворяют неравенству треугольника. Результат arccos всегда даёт угол между 0° и 180°, что исключает неоднозначность. Для точности используйте не менее четырёх знаков после запятой при промежуточных вычислениях.