Перевести из десятичной системы в указанную

Пошаговый перевод десятичного числа в двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную или другую систему счисления.

Что нужно знать для перевода

Чтобы преобразовать число из десятичной системы в указанную, необходимо знать основание целевой системы. Оно обозначается буквой b и показывает, какие цифры можно использовать:

• основание 2 — двоичная система;
• основание 8 — восьмеричная;
• основание 10 — десятичная;
• основание 16 — шестнадцатеричная;
• основания от 2 до 36 — распространённый диапазон для записи цифрами и латинскими буквами.

В позиционной системе число представляют как сумму разрядов:

N = aₖ × bᵏ + ... + a₂ × b² + a₁ × b¹ + a₀ × b⁰

Здесь N — исходное десятичное число, b — основание новой системы, а a — цифры результата.

Алгоритм для целого числа

Чтобы перевести целое положительное число в систему с основанием b, используйте последовательное деление:

1. Разделите число на основание целевой системы.
2. Запишите остаток от деления.
3. Получившееся целое частное снова разделите на то же основание.
4. Повторяйте действия, пока частное не станет равно нулю.
5. Прочитайте найденные остатки снизу вверх — это и будет результат.

Если остаток больше 9, его заменяют буквой. Например, в шестнадцатеричной системе остаток 12 записывается как C.

Пример перевода 156 в двоичную систему

Разделим число на 2:

156 ÷ 2 = 78, остаток 0
 78 ÷ 2 = 39, остаток 0
 39 ÷ 2 = 19, остаток 1
 19 ÷ 2 =  9, остаток 1
  9 ÷ 2 =  4, остаток 1
  4 ÷ 2 =  2, остаток 0
  2 ÷ 2 =  1, остаток 0
  1 ÷ 2 =  0, остаток 1

Читаем остатки снизу вверх:

156₁₀ = 10011100₂

Проверка:

10011100₂ = 1×2⁷ + 1×2⁴ + 1×2³ + 1×2²
           = 128 + 16 + 8 + 4
           = 156₁₀

Перевод в восьмеричную и шестнадцатеричную системы

Тот же алгоритм применяется для любого основания. Меняется только делитель.

Число 156 в восьмеричной системе

156 ÷ 8 = 19, остаток 4
 19 ÷ 8 =  2, остаток 3
  2 ÷ 8 =  0, остаток 2

Результат:

156₁₀ = 234₈

Число 156 в шестнадцатеричной системе

156 ÷ 16 = 9, остаток 12
  9 ÷ 16 = 0, остаток 9

Остаток 12 обозначается буквой C, поэтому:

156₁₀ = 9C₁₆

Итог для одного и того же значения:

156₁₀ = 10011100₂ = 234₈ = 9C₁₆

Как перевести дробное число

Для десятичного числа с дробной частью целую и дробную части переводят отдельно.

Целую часть преобразуют делением на основание. Дробную часть последовательно умножают на основание, каждый раз записывая целую часть полученного результата.

Например, переведём 45,625₁₀ в двоичную систему.

Целая часть:

45₁₀ = 101101₂

Дробная часть:

0,625 × 2 = 1,25  → цифра 1
0,25  × 2 = 0,5   → цифра 0
0,5   × 2 = 1,0   → цифра 1

Получаем:

45,625₁₀ = 101101,101₂

У некоторых дробей двоичная или другая запись получается бесконечной. В таком случае вычисления останавливают после нужного количества знаков и используют округление.

Особенности отрицательных чисел и нуля

Знак минус не переводится отдельно: сначала преобразуют абсолютное значение, затем добавляют - перед результатом.

Например:

−25₁₀ = −11001₂

Ноль во всех позиционных системах записывается одинаково:

0₁₀ = 0₂ = 0₈ = 0₁₆

Начальные нули обычно не обязательны. Записи 00101₂ и 101₂ обозначают одно и то же значение, если формат задачи не требует фиксированной длины разрядов.

Какие символы допустимы в разных системах

Основание	Система	Допустимые символы
2	Двоичная	0–1
8	Восьмеричная	0–7
10	Десятичная	0–9
16	Шестнадцатеричная	0–9, A–F
36	Расширенная	0–9, A–Z

Цифра или символ не может быть равен основанию или больше него. Например, запись 29₈ некорректна: в восьмеричной системе разрешены только цифры от 0 до 7.

Как выполнить перевод онлайн

1. Введите исходное число в десятичной системе.
2. Укажите основание, в которое нужно выполнить преобразование.
3. Проверьте, что в числе нет недопустимых символов.
4. Запустите расчёт и прочитайте результат.
5. При необходимости проверьте ответ обратным разложением по степеням основания.

Онлайн-конвертер удобен для больших чисел, дробей и случаев, когда требуется быстро сравнить запись одного значения в нескольких системах.

Частые ошибки

• Читать остатки в том же порядке, в котором они были получены.
• Делить каждый раз исходное число, а не предыдущее частное.
• Использовать цифру, недопустимую для выбранного основания.
• Путать основание системы с количеством разрядов.
• Забывать заменить остатки от 10 до 35 буквами в расширенных системах.
• Переносить десятичную запятую в результат без отдельного перевода дробной части.

Главное правило для целых чисел: последовательно делить на основание и записывать остатки в обратном порядке.