Перевод чисел в десятичную систему счисления

Как перевести число в десятичную систему счисления

Любое число в позиционной системе счисления можно представить как сумму цифр, умноженных на основание системы в соответствующей степени. Этот метод универсален: он подходит для двоичной, восьмеричной, шестнадцатеричной и любой другой системы с основанием от 2 до 36.

Формула перевода

Для числа, записанного в системе с основанием b, десятичное значение вычисляется так:

N₁₀ = dₙ₋₁·bⁿ⁻¹ + dₙ₋₂·bⁿ⁻² + … + d₁·b¹ + d₀·b⁰

Где:

• b — основание исходной системы (2 для двоичной, 8 для восьмеричной, 16 для шестнадцатеричной);
• dᵢ — цифра на позиции i;
• i — номер разряда, отсчитываемый справа налево, начиная с нуля.

Пошаговый алгоритм

1. Выпишите цифры числа справа налево и присвойте им индексы 0, 1, 2 и далее.
2. Каждую цифру умножьте на основание^индекс.
3. Сложите все полученные произведения — это и есть десятичное число.

Примеры перевода

Из двоичной (основание 2):
Переведём 1011₂:

• 1·2³ + 0·2² + 1·2¹ + 1·2⁰
• = 8 + 0 + 2 + 1 = 11₁₀

Из восьмеричной (основание 8):
Переведём 377₈:

• 3·8² + 7·8¹ + 7·8⁰
• = 3·64 + 7·8 + 7·1 = 192 + 56 + 7 = 255₁₀

Из шестнадцатеричной (основание 16):
Переведём 2F₁₆. Буква F соответствует 15.

• 2·16¹ + 15·16⁰
• = 32 + 15 = 47₁₀

Из произвольной (например, основание 5):
Переведём 132₅:

• 1·5² + 3·5¹ + 2·5⁰
• = 25 + 15 + 2 = 42₁₀

Значения букв в системах с основанием больше 10

В шестнадцатеричной и других системах с базой выше 10 используются латинские буквы:

Буква	Значение
A	10
B	11
C	12
D	13
E	14
F	15

Перевод дробных чисел

Если число содержит дробную часть (например, 10.1₂), разряды после точки имеют отрицательные степени: −1, −2, −3.
10.1₂ = 1·2¹ + 0·2⁰ + 1·2⁻¹ = 2 + 0 + 0.5 = 2.5₁₀.

Частые ошибки

• Нумерация слева направо. Всегда начинайте отсчёт с нуля с крайнего правого символа.
• Игнорирование буквенных значений. В hex-числах A–F — это 10–15, а не сами буквы.
• Перепутанные степени. Проверьте: самый правый разряд всегда умножается на основание в степени 0.